几何布bu朗运动，几何布朗运动的期望

几何布朗运动就是物理中典dian型的随机运动，其特te点就是不可预测，而在股市中的短期股gu票价格也是不可预测。

几何布朗运动

一、正态随机变量概率密度函数描述：

(μ为总体均数、σ为标准差）

二、布朗运动的数学描述：

价格时shi间函数P(x），T+t时刻的价格P(T+t)与T时shi刻价格P(T)的差值：P(T+t)-P(T)是一个正态随sui机变量，分布的de平均期望值μt，标准差为。（T0，t0)

重大缺陷xian：

1、按此价格理论lun上可有负值，但实际中价格不可ke能存在负值。

2、不论价格初值为wei何值，固定时间长chang度的价格差具有相同的de正态分布，不符合常理。

三、几何布朗运动：

把价格差改gai为价格的涨跌幅：可以避免直接jie使用布朗运动描述shu价格的缺陷，即为几何布朗运动。

是一个正态随机变量liang，分布的平均期望值μt，标biao准差为。（T0，t0)

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几何he布朗运动

几ji何布朗运动的作用是用yong来模拟股价的变动。它的de好处在于，一般形式布朗运动中zhong取值可能为负数，而几何布bu朗运动取值永远不小于0，这一点符合股价永yong远不为负的特征。

几何布朗运yun动微分形式的表述。或huo者称SDE（随机微wei分方程）形式：

其中的S(t)可以理解为股价。

几何布朗运动函数形式shi表述：

上述式子告gao诉我们，可以先xian生成一服从的一般形式布朗运动，然后求其指数函数，最后hou乘以S(0)，即期初的股价，就可以得到几何he布朗运动。

补充：为何这里t的系数多duo出一项？具体可以yi参考伊藤公式。

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几何he布朗运动 (GBM) (也叫做指数布朗运动dong) 是连续时间情况下的随机过guo程,其中随机变量的对数遵zun循布朗运动,[1] also called aWiener process.几何布朗运动在金融数学xue中有所应用,用来在布莱lai克-舒尔斯定价模型中zhong模仿股票价格.

分数shu布朗运动

世界是shi非线性的,宇宙万物绝大部分不bu是有序的、线性xing的、稳定的,而是混沌的、非线性的、非稳定ding和涨落不定的沸腾世界.有序的、线性的、稳定的只存在于我们men自己构造的理论宫殿,而现实宇宙充chong满了分形.在股票市shi场的价格波动、心率及脑波的de波动、电子元器件中的噪声、自然地di貌等大量的自然现象和he社会现象中存在着一类近乎全随机的de现象,它们具有如下特性：在zai时域或空域上有自相似性xing和长时相关性和继承性；在频域上,其功率谱密度在一定频率范fan围内基本符合1/f的多项式衰减规律.因yin此被称为1/f族随机ji过程.Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动dong(fractional Brownian motion,FBM)模型是shi使用最广泛的一yi种,它具有自相似性、非平稳性xing两个重要性质,是许多自然现象和社会hui现象的内在特性.分数布朗运动被赋予yu不同的名称,如分形布bu朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等.

没听过几何布朗运动

貌似有布朗运动和布朗实验yan

悬浮微粒不停地做无规则ze运动的现象叫做布朗lang运动

这是1826年nian英国植物学家布bu朗（1773-1858）用显xian微镜观察悬浮在水中zhong的花粉是发现的。后来把悬浮微粒的这zhe种运动叫做布朗运动。不只是花粉fen和小炭粒，对于液体中各种不同的de悬浮微粒，都可以观察cha到布朗运动。

那么，布bu朗运动是怎么产生的呢？在显微镜下看kan起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的de。液体分子不停地做无规gui则的运动，不断地抓高年级微wei粒。悬浮的微粒足够小时shi，受到的来自各个方向的de液体分子的撞击作用yong是不平衡的。在某一瞬shun间，微粒在另一个方向xiang受到的撞击作用强，致使微wei粒又向其它方向运动。这样，就引起了le微粒的无规则的布朗lang运动。

1827年，苏格兰植物学家R。布朗发现水中的花粉及其它悬浮的微小xiao颗粒不停地作不规则的折线运动，称为布朗运动。人们长chang期都不知道其中的原理。50年后，J·德耳索提出这些微小颗粒是受到周zhou围分子的不平衡的碰撞而导致的de运动。后来得到爱因yin斯坦的研究的证明。布朗运动也ye就成为分子运动论和统计力学发fa展的基础。

悬浮在液ye体或气体中的微粒(线度~10－3mm)表现出的永不停止的无规则ze运动，如墨汁稀释后碳粒在水shui中的无规则运动，藤黄颗粒在水中zhong的无规则运动……．而且温度越高，微wei粒的布朗运动越剧烈．布朗lang运动代表了一种随机涨落现象，它不仅反映了周围流liu体内部分子运动的无wu规则性，关于它ta的理论在其他许多领域也有重要应ying用，如对测量仪表测量精度限xian度的研究、对高倍放大的电dian讯电路中背景噪zao声的研究等等．

19世shi纪中对布朗运动的研究

布朗的发现是一个新xin奇的现象，它的原因是什么？人们是shi迷惑不解的。在zai布朗之后，这一问题一再被提出，为wei此有许多学者进行过长期的研yan究。一些早期的de研究者简单地把它归结为热或电dian等外界因素引起的。最早隐约指向合he理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布bu朗运动起源于分子的振动，他ta还公布了首次对微wei粒速度与粒度关系的de观察结果。不过他的分fen子模型还不是现xian代的模型，他看到dao的实际上是微粒的位移，并不是振动。

在维纳之后hou，S·埃克斯纳也测定了微粒的移动dong速度。他提出布朗运动是由于微观范fan围的流动造成的，他没有说明这种流动的根源yuan，但他看到在加热re和光照使液体粘度降低di时，微粒的运动加剧了。就这zhe样，维纳和S.埃克斯纳都把布朗运动dong归结为物系自身的性质。这一时期还hai有康托尼，他试shi图在热力理论的基础上解释布朗运动，认为微粒可以看成是巨大分子，它们men与液体介质处于热平衡，它们与液体ti的相对运动起源于渗透作zuo用和它们与周围液体之间的相互hu作用。

到了70——80年代，一些学者zhe明确地把布朗运动归结jie为液体分子撞击微粒的结果，这些学者zhe有卡蓬内尔、德de尔索和梯瑞昂，还有you耐格里。植物学家耐格里(1879)从真菌、细菌等通过空气传chuan播的现象，认为这些微粒即使在静jing止的空气中也可以yi不沉。联系到物理学中气体分子zi以很高速度向各ge方向运动的结论，他推测在阳光下看到的飞舞的尘埃是shi气体分子从各方fang向撞击的结果。他说：“这些微wei小尘埃就象弹性球一样被掷来掷去qu，结果如同分子本身一样能保持长久jiu的悬浮。”不过耐格里又放弃了这一yi可能达到正确解释的de途径，他计算了le单个气体分子和尘chen埃微粒发生弹性碰撞时微粒的速度，结果要比实际观察到的小许多数量级，于是他认为由于yu气体分子运动的无规则性，它们共同tong作用的结果不能使微粒达到观察速度du值，而在液体中则由于介质和微粒的de摩擦阻力和分子间的粘附力，分fen子运动的设想不能成为wei合适的解释。

1874——1880年间jian，卡蓬内尔、德耳索和梯瑞昂ang的工作解决了耐格里遇到的难题。这里li的关键是他们认为由于分子zi运动的无规则性和分子速度有you一分布，在液体或huo气体中的微观尺度上存在密mi度和压力的涨落。这种涨落在宏观尺度上抵消掉了。但是shi如果压方面足够微小，这种不bu均匀性就不能抵消，液体中的相应的de扰动就能表现出chu来。因此悬浮在液体中的微粒只zhi要足够小，就会不停地振荡下去qu。卡蓬内尔明确que地指出唯一影响此效应的de因素是微粒的大小，不过他ta把这种运动主要看成振荡，而德耳索根gen据克劳修斯把分子运yun动归结为平动和转动的观点，认ren为微粒的运动是无规则位移，这是德耳er索的主要贡献。

此后，古伊在1888——1895年期间对布朗运动进jin行过大量的实验观察。古gu伊对分子行为的描述并不bu比卡蓬内尔等人高明，他也没有弄nong清涨落的见解。不过他ta的特别之处是他强qiang调的不是对布朗lang运动的物理解释，而是把布朗运动作zuo为探究分子运动性质的一个工具。他说：“布朗运动表明，并不bu是分子的运动，而是从分子运动导出chu的一些结果能向我们提ti供直接的和可见的证zheng据，说明对热本质假设的正确性。按照zhao这样的观点，这一现象的研究承担dan了对分子物理学的重要作zuo用。”古伊的文献产生过重要的影响xiang，所以后来贝兰把布朗lang运动正确解释的来源yuan归功于古伊。

到了1900年，F·埃克斯纳完成了布朗运yun动前期研究的最后工作。他用了许多悬xuan浊液进行了和他的父亲S·埃克斯纳30年前作过的同类研究jiu。他测定了微粒在1min内的位移，与前人一样，证实了微粒li的速度随粒度增大而降低，随sui温度升高而增加。他清楚地认识到微粒作为巨大分子加入ru了液体分子的热运动，指出从这一观点dian出发“就可以得出微粒的动能和he温度之间的关系。”他说：“这种zhong可见的运动及其测定值zhi对我们清楚了解液ye体内部的运动会有进一步的de价值”。

以上shang是1900年前对布朗lang运动研究的基本情况。自然，这些研究与分子运动论的建立li是密切相关的。由麦克斯威和玻尔er兹曼在60——70年代dai建立的气体分子运动论在zai概念上的一个重大发展是shi抛弃了对单个分子进行xing详细跟踪的方法，而代之以对大量分子的统计处理，这为弄清布朗运动的de根源打下了基础。与布朗运yun动的研究有密切qie关系的还有在60年代由格雷哈姆建立的胶jiao体科学。所谓胶体是由粒度介于宏观粒li子和微观分子之间jian的微粒形成的分散体系，布朗运动dong正是胶体粒子在液体介质zhi中表现的运动。

对于yu布朗运动的研究，1900年是个重要的分界线。至此，布朗运动dong的适当的物理模型已经jing显明，剩下的问题ti是需要作出定量的理论描述了。

爱因斯坦的布朗lang运动理论

1905年，爱因yin斯坦依据分子运动论的de原理提出了布朗运动的理论。就在差不多同时，斯莫卢霍夫斯基也ye作出了同样的成果。他们的理论圆满man地回答了布朗运动的本质问题。

应该指出，爱因斯si坦从事这一工作zuo的历史背景是那时科学界关guan于分子真实性的争论。这种争zheng论由来已久，从原子zi分子理论产生以来就一yi直存在。本世纪初，以物理学家和哲zhe学家马赫和化学家奥斯特瓦尔德de为代表的一些人再次提ti出对原子分子理论的非难，他们从实证zheng论或唯能论的观点dian出发，怀疑原子和分子zi的真实性，使得这zhe一争论成为科学前沿中的一个中心问wen题。要回答这一问题，除开哲学xue上的分岐之外，就科ke学本身来说，就需要yao提出更有力的证据ju，证明原子、分子的de真实存在。比如以往测定的相xiang对原子质量和相对分子zi质量只是质量的de相对比较值，如果它ta们是真实存在的，就能够而且qie也必须测得相对原子质zhi量和相对分子质量的绝对值zhi，这类问题需要人们men回答。

由于上述情况，象爱ai因斯坦在论文中指出的那样，他的目的de是“要找到能证实确实shi存在有一定大小的原子的最有说shuo服力的事实。”他说：“按照热的分子zi运动论，由于热的分子运动，大小可ke以用显微镜看见的物wu体悬浮在液体中，必bi定会发生其大小可ke以用显微镜容易yi观测到的运动。可能这里所讨论的运yun动就是所谓‘布朗分子运yun动’”。他认为wei只要能实际观测到这种运动和预期的规gui律性，“精确测定原子的实际大小xiao就成为可能了”。“反之，要是关于这种运动的预言证明ming是不正确的，那么就提供gong了一个有份量的证据来反fan对热的分子运动dong观”。

爱ai因斯坦的成果大体上可分两方fang面。一是根据分子热运动原理li推导

是在t时间里li，微粒在某一方向上位移的统tong计平均值，即方均根值，D是微粒的de扩散系数。这一公式是看kan来毫无规则的布朗运动服从分子热运动dong规律的必然结果。

爱因斯坦成果的第二er个方面是对于球形微wei粒，推导出了可以求算阿

式中的η是介质粘度，a是微粒半径，R是气体常数shu，NA为阿伏加德罗常数。按此公式，只要实际测得准确que的扩散系数D或布朗运动dong均方位 得到原子和分子的绝对质zhi量。爱因斯坦曾用前人测定的糖在zai水中的扩散系数，估算的NA值为3.3×1023，一年后(1906)又修改为6.56×1023。

爱因斯坦的理论成果为wei证实分子的真实性找到了一种zhong方法，同时也圆满地阐明了布朗运yun动的根源及其规gui律性。下面的工作就是要yao用充足的实验来检jian验这一理论的可靠性。爱因yin斯坦说：“我不想在这里把ba可供我使用的那些稀少的实验yan资料去同这理论lun的结果进行比较，而把它让给实验方面掌握wo这一问题的那些人去做”。“但dan愿有一位研究者能够立即成功地解决这zhe里所提出的、对热理论关系重大的这zhe个问题！”爱因斯坦提出的这一yi任务不久之后就由贝兰lan(1870——1942)和he斯维德伯格分别出色的完成了。这里还hai应该提到本世纪初chu在研究布朗运动方面mian一个重大的实验进展是1902年齐格蒙第(1865——1929)发明了超显微镜，用yong它可直接看到和测定胶体粒子的布朗运yun动，这也就是证实了胶jiao体粒子的真实性，为此，齐格ge蒙第曾获1925年诺贝尔er化学奖。斯维德伯bo格测定布朗运动就jiu是用超显微镜进行的。

贝bei兰测定阿伏加德罗常数的实验

1908到1913年期间jian，贝兰进行了验证zheng爱因斯坦理论和测定阿伏fu加德罗常数的实验研究。他的de工作包括好几方面。在初期，他的想法是，既ji然在液体中进行布朗运动的微粒li可以看成是进行热运动的巨大分fen子，它们就应该遵循分子运yun动的规律，因此只要找zhao到微粒的一种可用实验观测的de性质，这种性质与气体定ding律在逻辑上是等deng效的，就可以用来测定阿伏加德罗常数shu。1908年，他想到液体中的悬浮微wei粒相当于“可见分子的微型大气”，所suo以微粒浓度(单dan位体积中的数目)的高度分布公式应与气压方fang程有相同的形式，只是对粒子受shou到的浮力应加以校正。这一公式是：ln(n／n0)=-mgh(1-ρ／ρ0)／kt。式中k是波尔er兹曼常数，自k和NA的关系，公式也ye可写成ln(n／n0)=-NA mgh(1-ρ／ρ0)／RT。根据ju此公式，从实验测定的de粒子浓度的高度分布数shu据就可以计算k和NA。

为进行这种实shi验，先要制得合用的微粒。制备方法是先向树shu脂的酒精溶液中加入大量水，则树脂析xi出成各种尺寸的de小球，然后用沉降jiang分离的方法多次分级，就可以yi得到大小均匀的级份(例如直径约yue3／4μm的藤黄球)。用一些xie精细的方法测定小球的直径和密度。下xia一步是测定悬浮液中小球qiu的高度分布，是shi将悬浮液装在透明和密闭的盘中，用显xian微镜观察，待沉降达到dao平衡后，测定不同高度上的粒子浓度。可以用快速照相，然后计数。测得高度du分布数据，即可计算NA。贝兰及其同事改gai变各种实验条件：材料(藤黄、乳香)，粒子质量(从1到50)，密度(1.20到1.06)，介质(水，浓糖水，甘油)和温度(-90°到60°)，得到的NA值zhi是6.8×1023。

贝兰的另一种实验是shi测量布朗运动，可以说这是对分fen子热运动理论的更直接证明ming。根据前述的爱因斯坦对球形粒子导dao出的公式，只要yao实验液，在选定的一段时间内用显微镜jing观察粒子的水平ping投影，测得许多duo位移数值，再进jin行统计平均。贝兰lan改变各种实验条件，得到的NA值是(5.5-7.2)×1023。贝兰还用过一些其它方法，用各种方法得到的NA值是：

6.5×1023 用类似气体悬浮fu液分布法，

6.2×1023 用类lei似液体悬浮液分布法，

6.0×1023 测定浓悬浮液中的骚动，

6.5×1023 测定平动布bu朗运动，

6.5×1023 测定转动布朗运动。

这些结果相当一致，都接近jin现代公认的数值6.022×1023。考虑到方fang法涉及许多物理假设和实shi验技术上的困难，可以说这zhe是相当了不起的。以后的de许多研究者根据其它原理测ce定的No值都肯定了贝兰结果的de正确性。与贝兰lan差不多同时，斯si维德伯格(1907)用超显xian微镜观测金溶胶jiao的布朗运动，在测定阿伏加德罗常数和he验证爱因斯坦理论上也作出了le出色的工作。可以yi说他们是最先称得原子质量的人，所以yi在1926年，贝兰和斯维德伯格ge分别获得了诺贝尔物理学奖和化hua学奖。

就这样yang，布朗运动自发现之后，经过guo多半个世纪的研究，人ren们逐渐接近对它的正确认识。到本世shi纪初，先是爱因斯坦和斯si莫卢霍夫斯基的理论，然后是贝兰和he斯维德伯格的实验使这zhe一重大的科学问题得de到圆满地解决，并首次ci测定了阿伏加德罗luo常数，这也就是为wei分子的真实存在提供了le一个直观的、令ling人信服的证据，这zhe对基础科学和哲zhe学有着巨大的意yi义。从这以后，科学上关于yu原子和分子真实性的争论即ji告终结。正如原先原子论lun的主要反对者奥ao斯特瓦尔德所说：“布朗运动和动力学假说的一yi致，已经被贝兰lan十分圆满地证实了，这就使那怕最zui挑剔的科学家也得承认这是充chong满空间的物质的de原子构成的一个实验证据ju”。数学家和物理学家彭加勒在zai1913年总结性地说道：“贝兰对原yuan子数目的光辉测定完wan成了原子论的胜利”。“化学家的原子论现在是一个真实shi存在”。

以上文章zhang内容就是对几何布朗运动和几何he布朗运动的期望的介绍到此就jiu结束了，希望能够帮bang助到大家？如果你还想了解jie更多这方面的信息，记得收藏关注本ben站。