法国哲学家和数学(xue)家勒内·笛卡尔(er)凭借《方法论》为17世纪(ji)数学的复兴做出了巨大贡献。也正是由(you)于这本书，人们把统一(yi)代数和几何或者创立解析(xi)几何的荣誉归功于笛卡(ka)尔。
笛(di)卡尔本人尤其关注(zhu)古希腊数学家巴(ba)伯斯和丢番图，他(ta)注意到数学唯一关心的是次序和度量(liang)问题，而问题中的(de)量度是否涉及数字、形状、恒星等任(ren)何东西都是无关紧要的。这启(qi)发了他去寻找一门通用数(shu)学——能够提出与(yu)解释次序和量度相(xiang)关的问题，而无需考虑所要解决的(de)问题。于是，笛卡尔把所有的精力都(dou)用于寻找通用数学。
至1619年时。笛卡尔有信心在自己的思想(xiang)和创新的基础上建立一整套完(wan)整的哲学系统，该系统可以为学习和研究(jiu)开创一条充满确定性和明确性的路。在(zai)接下来的的20年间，笛卡尔发展了(le)这些观点，并将领域扩充到(dao)对整个世界运转方式(shi)的宏大严谨的解释。1633年开始完(wan)成《论世界的》的手稿时，由于(yu)获悉伽利略因赞同哥(ge)白尼日心说而宗教监禁，笛卡尔并未出版该书。事实上(shang)直到《方法论》，这(zhe)期间写成的书均未(wei)出版，当然除了担心教会(hui)的惩罚，另一个原因是当时没(mei)有科学期刊。
“大战”的前夕当时(shi)的法国有一个勤于学术(shu)的牧师马林·梅森，充当了(le)科学期刊的作用，他的家成为了当(dang)时最顶尖的数学家(jia)的聚会所。梅森与其他数学家(jia)一直保持通信，这(zhe)也是笛卡尔与费马争论的阵地了。
笛卡(ka)尔在方法论的开篇中提到：不能确知是(shi)对的事,不要接受。这就是说(shuo),在判断时谨慎(shen)地避免仓促和偏见,只接受(shou)那些非常清晰地印(yin)在脑海中不容置(zhi)疑的东西；笛卡尔认为可以运用数学(xue)作为基础来进行建(jian)构。正如他提出的:“我尤其喜欢数(shu)学,因为它们说理时的确(que)定和明晰。但我还没有精(jing)确地掌握它们的正(zheng)确用法;考虑到它们对机械技(ji)术的发展独一无(wu)二的贡献,这些基础如(ru)此牢固,它们无需我们再往前发展更多(duo),我为此感到惊异。他的书没(mei)有对世界做出完整的解释,但(dan)它的确主张所有的(de)自然现象都可以(yi)做出机械的解释,这是一个非常有力的观(guan)念。《方法论》一书包含3篇(pian)文章，依次是《折射光学(xue)》、《大气现象》、《几何》，其(qi)中第一篇《折射光学》和第三篇《几何》是与费马(ma)争论的焦点。而《几何(he)》就是笛卡尔留给数学的主(zhu)要遗产，其中他对古希(xi)腊几何学家阿波罗尼奥斯留下(xia)来的问题给出了通用且彻底(di)的代数解法——方法的基础特征就是(shi)将方程和曲线联系起来，将点(dian)和曲线放在同一个坐标系中，只是这里(li)的坐标系并不是(shi)我们熟悉的坐标系。基于此，笛(di)卡尔对方程理论做出了有意义的贡(gong)献，把两个曲线放(fang)到同一个坐标系中，通过解(jie)出两曲线方程的公共(gong)根，寻找曲线的交点；笛卡尔(er)还引入了一套符号系统，字母表(biao)开头的小写字母表示常数或已知数(shu)，而字母表末尾的小写字母表示(shi)未知数。虽然凭借《几何》，笛卡尔成(cheng)为解析几何的缔造者，但“解析几(ji)何”这一名称直到19世纪才出现。
想必笛卡尔对自己这种世界首创(chuang)的独特方法是特别的(de)自豪，然而却得到了当时重要数(shu)学家的批评，其中就(jiu)包括了费马，没错，就是提出费马大(da)定理的那个业余数(shu)学家。事情已通(tong)过笛卡尔同时代的(de)数学家让·贝格兰开始的，1636年贝格兰出版了(le)一本《刚体力学》，该书得到了(le)笛卡尔的严厉批评，或许这是一个让人(ren)怀恨在心也说不准，1337年冬，贝(bei)格兰得到了《折射(she)光学》的抄本，抄本在他与同僚之(zhi)间的传阅，当然包括费马，开始了猛烈的攻(gong)击。其中费马认为折射定律的证明(ming)根本就算不上是证(zheng)明，当然没人知道笛卡尔得出折射定(ding)律的关键步骤依赖于未出版的《论世界(jie)》中的精确论述，直到1644年笛卡尔出版《哲学原理》，定律才得到充分(fen)论述。
费马对《几何(he)》在最大值与最小值方面没有(you)任何研究感到惊讶，于是(shi)费马把自己在这领域的成果寄给(gei)了梅森，包括了最值、曲线(xian)的切线方法，解析几何的成com果。笛卡尔在出版《方法论》之前(qian)，看到了费马的(de)这些成果，两人(ren)的方法惊人的相似，这无疑成为了费(fei)马和笛卡尔冲突的诱因，于是评论和批判铺天盖地。特立独(du)行的笛卡尔对此大都以愤(fen)怒和轻蔑回应，在任何场合都乐意争论的(de)笛卡尔是不可能(neng)咽下这口气的，1638年笛卡(ka)尔开始针对费马的(de)批评给予反击：指责费马(ma)缺乏数学家和思想者的素质，笛卡尔认为费马的成果应该归(gui)功于他。人们普遍认为，当时(shi)的费马应该是完全不知道笛(di)卡尔的成果的，他们(men)是各自独立的解决轨迹问题。
笛卡尔的反击论战扩大(da)，更多人卷入其中，罗贝瓦尔和帕斯(si)卡站在了费马一边，克劳(lao)德·麦多治和吉拉德·德扎(zha)格站在了笛卡尔这边。
费马虽(sui)然是那个时代伟大的数学家，但是(shi)他在论文中常常(chang)是忽略细节的，而且在面对别(bie)人的质疑时，又偏偏不做(zuo)详细说明，这确实让当时的(de)同行不悦。丢番图(tu)一书中关于费马大定理的(de)几行字就可见一斑。笛卡尔同(tong)样指责费马寻找最大(da)值、最小值的方法和关(guan)于切线的规则都(dou)不是严格推导的结果；更狠的是说费马(ma)的声誉主要来自两个幸运的猜想(xiang)，这是极易引起(qi)费马及追随者的怒火的。相对于笛卡尔的猛烈攻势，费马好(hao)像要淡定的多，或许是在憋大招(zhao)。
争斗持续了(le)20年，在间歇期，笛卡尔更多的(de)是继续在哲学和形(xing)而上学上的研究(jiu)，并出版了倍受好评的书籍；而经过四次修订的《几何》，深深的影响了新一代的数学(xue)家，更是巩固了他在数学界的荣誉，除此之外笛卡尔算是远离了数学，暴躁易怒和出言刻薄的他也得罪了不(bu)少数学家。1650年，在尊敬和荣誉(yu)中，笛卡尔离开了人世。
费马的复仇即便是笛卡尔已经离世，费(fei)马的伤痛依旧。17世界50年(nian)代末，一位笛卡(ka)尔的忠实的拥趸克劳德·克(ke)雷色列尔在编辑笛卡尔的(de)书信集，请求费马把他希望编入的信件(jian)抄本提供给他，这让费马得到了“复仇”的大好时机(ji)，于是他给克雷色列尔回了一封长(chang)信，只是信件没有达到恢复费马(ma)名誉的效果，尽管此时的费马用语更加(jia)的强硬。相比于(yu)笛卡尔离开了数学，费马勤(qin)奋钻研，在数论和概率论领(ling)域做出了重大贡献，也为微积分的(de)发展打下了基础，而且费(fei)马在解析几何上的方法更(geng)接近我们现在所用的方法，但(dan)笛卡尔所用的符号(hao)更现代化一些。内敛(lian)些的费马生前并未得到广泛的认(ren)可，费马自称更愿意(yi)去探索确定性的真理，而不愿意花(hua)费更多时间在辩论、虚名和无谓的争论(lun)上。然而笛卡尔(er)和费马两人对17世纪的数学(xue)发展所做的贡献是不可磨灭的。
